Центр ваги
- Визначення центру ваги
- Метод знаходження центру ваги тіла
- Координати центра ваги
- Центр тяжкості, центр мас і центр інерції тіла
- Приклади завдань з рішенням
Особливістю центру ваги є те, що ця сила, діє на тіло не в якійсь - то одній точці, а розподілена по всьому об'єму тіла. Сили тяжіння, які діють на окремі елементи тіла (які можна вважати матеріальними точками), спрямовані до центру Землі і не є строго паралельними. Але так як розміри більшості тіл на Землі багато менше її радіусу, тому ці сили вважають паралельними.
Визначення центру ваги
визначення
Точку, через яку проходить рівнодіюча всіх паралельних сил тяжкості, які мають вплив на елементи тіла при будь-якому розташуванні тіла в просторі, називають центром тяжіння.
Інакше кажучи: центр ваги - це точка, до якої прикладена сила тяжіння при будь-якому положенні тіла в просторі. Якщо відомо положення центра ваги, то можна вважати, що сила тяжіння - це одна сила, і вона прикладена в центрі ваги.
Завдання знаходження центру ваги є важливим завданням в техніці, оскільки від положення центра ваги залежить стійкість всіх конструкцій.
Метод знаходження центру ваги тіла
Визначаючи положення центра ваги тіла складної форми можна спочатку подумки розбити тіло на частини простої форми і знайти центи тяжкості для них. Для тел простої форми можна відразу визначити центр ваги з міркувань симетрії. Сила тяжіння однорідних диска і кулі знаходиться в їх центрі, однорідного циліндра в точці на середині його осі; однорідного паралелепіпеда на перетині його діагоналей і т, д. У всіх однорідних тіл центр ваги збігається з центром симетрії. Центр тяжкості може перебувати поза тілом, наприклад кільце.
З'ясуємо розташування центрів тяжіння частин тіла, знаходять місце розташування центру тяжіння тіла в цілому. Для цього тіло представляють у вигляді сукупності матеріальних точок. Кожна така точка знаходиться в центрі ваги своєї частини тіла і володіє масою цієї частини.
Координати центра ваги
У тривимірному просторі координати точки прикладання рівнодіючої всіх паралельних сил тяжкості (координати центру ваги), для твердого тіла обчислюються як:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} x_c = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_ix_i}} {m} ;; \\ y_c = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_iy_i}} {m} ;; \\ z_c = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_iz_i}} {m} \ end {array} \ right. \ Left (1 \ right), \]
де $ m $ - маса тіла. $ ;; x_i $ - координата на осі X елементарної маси $ \ Delta m_i $; $ Y_i $ - координата на осі Y елементарної маси $ \ Delta m_i $; ; $ Z_i $ - координата на осі Z елементарної маси $ \ Delta m_i $.
У векторній запису система з трьох рівнянь (1) записується як:
\ [{\ Overline {r}} _ c = \ frac {1} {m} \ sum \ limits_i {m_i {\ overline {r}} _ i \ left (2 \ right),} \]
$ {\ Overline {r}} _ c $ - радіус - вектор, який визначає положення центра ваги; $ {\ Overline {r}} _ i $ - радіус-вектори, які визначають положення елементарних мас.
Центр тяжкості, центр мас і центр інерції тіла
Формула (2) збігається з виразами, що визначають центр мас тіла. У тому випадку, якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанню до центру Землі, центр ваги вважають збігається з центром мас тіла. У більшості завдань центр ваги збігається з центром мас тіла.
Сила інерції в неінерційних системах відліку, що переміщається поступально прикладена до центру тяжіння тіла.
Але слід враховувати, що відцентрова сила інерції (в загальному випадку) до яких не прикладено центру тяжіння, оскільки в неінерціальної системи відліку на елементи тіла діють різні відцентрові сили інерції (навіть якщо маси елементів рівні), так як відстані до осі обертання різні.
Приклади завдань з рішенням
приклад 1
Завдання. Система складена з чотирьох маленьких кульок (рис.1) які координати її центра ваги?
Рішення. Розглянемо рис.1. Центр тяжкості матиме в цьому випадку одну координату $ x_c $, яку визначимо як:
\ [X_c = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_ix_i}} {m} \ \ left (1.1 \ right). \]
Маса тіла в нашому випадку дорівнює:
\ [M = m + 2m + 3m + 4m = 10 \ m. \]
Чисельник дробу в правій частині виразу (1.1) в разі (1 (а)) набирає вигляду:
\ [\ Sum \ limits_ {i = 4} {\ Delta m_ix_i = m \ cdot 0 + 2m \ cdot a + 3m \ cdot 2a + 4m \ cdot 3a = 20m \ cdot a}. \]
отримуємо:
\ [X_c = \ frac {20m \ cdot a} {10m} = 2a. \]
Відповідь. $ X_c = 2a; $
приклад 2
Завдання. Система складена з чотирьох маленьких кульок (рис.2) які координати її центра ваги?
Рішення. Розглянемо рис.2. Центр ваги системи знаходиться на площині, отже, він має дві координати ($ x_c, y_c $). Знайдемо їх за формулами:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} x_c = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_ix_i}} {m} ;; \\ y_с = \ frac {\ sum \ limits_i {\ Delta m_iy_i}} {m}. \ End {array} \ right. \]
Маса системи:
\ [M = m + 2m + 3m + 4m = 10 \ m. \]
Знайдемо координату $ x_c $:
\ [X_c = \ frac {0 \ cdot 4m + 3m \ cdot a + 2m \ cdot a} {10m} = 0,5 \ a. \]
Координата $ y_с $:
\ [Y_с = \ frac {0 \ cdot m + m \ cdot a + 2m \ cdot a} {10m} = 0,3 \ a. \]
Відповідь. $ X_c = 0,5 \ a $; $ Y_с = 0,3 \ a $
Читати далі: доцентровийприскорення при русі по колу .
Система складена з чотирьох маленьких кульок (рис.1) які координати її центра ваги?Система складена з чотирьох маленьких кульок (рис.2) які координати її центра ваги?
